位置・速度・加速度 | 数学と物理の問題

位置・速度・加速度

vtグラフ

問題：上の時間 $t$ と速度 $v$ のグラフから、時間 $t$ と位置 $x$ のグラフ、時間 $t$ と加速度 $a$ のグラフをそれぞれ作成せよ。速度 $v$ は次のように定義される。また、 $t=0$ のとき、 $x=0$ とする。

$\begin{eqnarray*} v = \begin{cases} t & (0 \leq t \leq 1) \\ 1+0.5\sin{20(t-1)} & (1 \leq t\leq \frac{\pi}{2}+1) \\ 1 & (\frac{\pi}{2}+1 \leq t \leq 3) \\ 1-(t-3)^2 & (3 \leq t \leq 4) \end{cases} \end{eqnarray*}$

概要
速度・加速度
解答

このページでは、物体の位置から微分を使って、速度と加速度を定義する。その上で問題を解く。

このページの構成は以下のようになる。

(1)速度と加速度
(2)解答
物体の位置

物体の位置 $x$ は、数直線上での位置を表す。例えば、 $x=3$ であれば物体が数直線上で $3$ のところにあることを意味するし、 $x=-2$ であれば物体が数直線上で $-2$ のところにあることを意味する。

速度

平均の速度

ある時刻 $t$ からある時刻 $t+\Delta t$ までに、位置が $x$ から $x+\Delta x$ に変化したとき、時間 $\Delta t$ で位置が $\Delta x$ 変わっている。このとき、平均の速度 $\bar{v}$ は次のように定義される。( $\Delta x$ は、変化した位置の量という意味で”変位”と呼ばれることがある)

平均の速度

$\bar{v} = \cfrac{\Delta x}{\Delta t}$

例えば、100mを10秒で走ったとき、この10秒間の平均の速度は、 $\bar{v}=\cfrac{\Delta x}{\Delta t}=\cfrac{+100}{10}=+10$ , したがって、”走った方向に10m/s”である。

注：速度は大きさと向きを持ったベクトル量なので、方向も明記しておく必要がある。 $\bar{v}$ の値が+ならば、その向きは数直線の+の方向である。もし走った方向と逆に数直線をとったならば、 $\bar{v}=\cfrac{\Delta x}{\Delta t}=\cfrac{-100}{10}=-10$ となる。しかし、この場合でも、速度の向きは、数直線の向きと逆の向きなので、同じく”走った方向”となる。

瞬間の速度

平均の速度の時間間隔 $\Delta t$ を限りなく $0$ に近づけると、瞬間の速度となる。単に速度といった場合は、瞬間の速度を意味する。例えば、位置が関数 $x(t)=t^2$ で与えられているとき、時間 $t$ での速度 $v(t)$ は、

$\begin{eqnarray*} v(t)&=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{(t+\Delta t)^2-t^2}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{t^2+2\cdot t \cdot \Delta t + \Delta t ^2 - t^2}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{2\cdot t \cdot \Delta t + \Delta t^2}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} (2t +\Delta t) \\ &=& 2t \end{eqnarray*}$

２行目の $v(t)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$ からわかるように、瞬間の速度 $v(t)$ は位置 $x(t)$ を $t$ で微分したものである。

瞬間の速度

$\begin{eqnarray*} v(t)&=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \\ &=&\frac{dx}{dt} \\ &=&x'(t) \\ &=&\dot{x} \end{eqnarray*}$

これらの式は、書き方が異なるだけで同じ意味、すなわち、 $x$ の $t$ 微分を意味する。

加速度

加速度 $a(t)$ は、速度 $v(t)$ を時間 $t$ で微分したものである。したがって、加速度 $a(t)$ は、位置 $x(t)$ を時間 $t$ で二回微分したものである。

(瞬間の)加速度

$\begin{eqnarray*} a(t)&=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{v(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \\ &=&\frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\\ &=&v'(t) = x''(t)\\ &=&\dot{v} = \ddot{x} \end{eqnarray*}$

これらの式は、すべて同じ意味、すなわち、 $v$ の $t$ 微分(もしくは $x$ の二回微分)を意味する。
加速度と時間のグラフ

加速度 $a$ は、速度 $v$ の微分だから、与えられた式を微分すればよい。

$\begin{eqnarray*} a = \begin{cases} 1 & (0 < t < 1) \\ 10\sin{20(t-1)} & (1 < t < \frac{\pi}{2}+1) \\ 0 & (\frac{\pi}{2}+1 < t \leq 3) \\ -2(t-3) & (3 \leq t < 4) \end{cases} \end{eqnarray*}$

これをグラフにすると次のようになる。

位置と時間のグラフ

速度 $v$ は、位置 $x$ を微分したものである。速度 $v$ から、位置 $x$ を求めるには、 $x$ を微分の逆演算である積分によって求めればよい。積分定数は $x$ の値が連続となるように決める。

$\begin{eqnarray*} a = \begin{cases} 0.5t^2 & (0 \leq t \leq 1) \\ -0.475+t-0.025\cos{20(t-1)} & (1 \leq t \leq \frac{\pi}{2}+1) \\ -0.5+t & (\frac{\pi}{2}+1 \leq t \leq 3) \\ -0.5+t-\frac{1}{3}(t-3)^3 & (3 \leq t \leq 4) \end{cases} \end{eqnarray*}$

これをグラフにすると次のようになる。

(解答終わり)

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