位置・速度・加速度

vtグラフ

問題:上の時間tと速度vのグラフから、時間tと位置xのグラフ、時間tと加速度aのグラフをそれぞれ作成せよ。速度vは次のように定義される。また、t=0のとき、x=0とする。

    \begin{eqnarray*} v = \begin{cases}  t & (0 \leq t \leq 1) \\  1+0.5\sin{20(t-1)} & (1 \leq t\leq \frac{\pi}{2}+1) \\  1 & (\frac{\pi}{2}+1 \leq t \leq 3) \\  1-(t-3)^2 & (3 \leq t \leq 4) \end{cases} \end{eqnarray*}

  • このページでは、物体の位置から微分を使って、速度と加速度を定義する。その上で問題を解く。

    このページの構成は以下のようになる。

    (1)速度と加速度
    (2)解答

  • 物体の位置

    物体の位置xは、数直線上での位置を表す。例えば、x=3であれば物体が数直線上で3のところにあることを意味するし、x=-2であれば物体が数直線上で-2のところにあることを意味する。

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    速度

    平均の速度

    ある時刻tからある時刻t+\Delta tまでに、位置がxからx+\Delta xに変化したとき、時間\Delta tで位置が\Delta x変わっている。このとき、平均の速度\bar{v}は次のように定義される。(\Delta xは、変化した位置の量という意味で”変位”と呼ばれることがある)

    平均の速度

        \[\bar{v} = \cfrac{\Delta x}{\Delta t}\]

    走る棒人間

    例えば、100mを10秒で走ったとき、この10秒間の平均の速度は、\bar{v}=\cfrac{\Delta x}{\Delta t}=\cfrac{+100}{10}=+10, したがって、”走った方向に10m/s”である。

    注:速度は大きさと向きを持ったベクトル量なので、方向も明記しておく必要がある。\bar{v}の値が+ならば、その向きは数直線の+の方向である。もし走った方向と逆に数直線をとったならば、\bar{v}=\cfrac{\Delta x}{\Delta t}=\cfrac{-100}{10}=-10となる。しかし、この場合でも、速度の向きは、数直線の向きと逆の向きなので、同じく”走った方向”となる。

    瞬間の速度

    平均の速度の時間間隔\Delta tを限りなく0に近づけると、瞬間の速度となる。単に速度といった場合は、瞬間の速度を意味する。例えば、位置が関数x(t)=t^2で与えられているとき、時間tでの速度v(t)は、

        \begin{eqnarray*} v(t)&=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{(t+\Delta t)^2-t^2}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{t^2+2\cdot t \cdot \Delta t + \Delta t ^2 - t^2}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{2\cdot t \cdot \Delta t + \Delta t^2}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} (2t +\Delta t) \\ &=& 2t \end{eqnarray*}

    2行目のv(t)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}からわかるように、瞬間の速度v(t)は位置x(t)tで微分したものである。

    瞬間の速度

        \begin{eqnarray*} v(t)&=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \\ &=&\frac{dx}{dt} \\ &=&x'(t) \\ &=&\dot{x} \end{eqnarray*}

    これらの式は、書き方が異なるだけで同じ意味、すなわち、xt微分を意味する。

    加速度

    加速度a(t)は、速度v(t)を時間tで微分したものである。したがって、加速度a(t)は、位置x(t)を時間tで二回微分したものである。

    (瞬間の)加速度

        \begin{eqnarray*} a(t)&=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} \\ &=&\lim_{\Delta t \to 0} \frac{v(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \\ &=&\frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\\ &=&v'(t) = x''(t)\\ &=&\dot{v} = \ddot{x} \end{eqnarray*}

    これらの式は、すべて同じ意味、すなわち、vt微分(もしくはxの二回微分)を意味する。

  • 加速度と時間のグラフ

    加速度aは、速度vの微分だから、与えられた式を微分すればよい。

        \begin{eqnarray*} a = \begin{cases}  1 & (0 < t < 1) \\  10\sin{20(t-1)} & (1 < t < \frac{\pi}{2}+1) \\  0 & (\frac{\pi}{2}+1 < t \leq 3) \\  -2(t-3) & (3 \leq t < 4) \end{cases} \end{eqnarray*}

    これをグラフにすると次のようになる。

    atグラフ

    位置と時間のグラフ

    速度vは、位置xを微分したものである。速度vから、位置xを求めるには、xを微分の逆演算である積分によって求めればよい。積分定数はxの値が連続となるように決める。

        \begin{eqnarray*} a = \begin{cases}  0.5t^2 & (0 \leq t \leq 1) \\  -0.475+t-0.025\cos{20(t-1)} & (1 \leq t \leq \frac{\pi}{2}+1) \\  -0.5+t & (\frac{\pi}{2}+1 \leq t \leq 3) \\  -0.5+t-\frac{1}{3}(t-3)^3 & (3 \leq t \leq 4) \end{cases} \end{eqnarray*}

    これをグラフにすると次のようになる。

    xtグラフ

    (解答終わり)

公開日:2013年5月29日 最終更新日:2013年7月4日