数列の極限値の導入(ε-N 論法)

問題：次の式の値を求めよ。

(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+4n+1}{n^2+n+1}$

(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2^n+3^n}{3+3^n}$

(4)数列 $\{a_n\}$ が $a$ の値に収束するときの、
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots\cdots+a_n}{n}$

概要
ε-N論法
基本定理
(1)解答
(2)解答
(3)解答
(4)解答

このページでは、数列の極限値について考える。

数列の極限値を考えるということは、簡単に言えば、数列が最終的にどのような値に近づいていくか、ということを考えることである。例えば、(1)の問題は、 $\displaystyle a_n=\frac{3n^2+4n+1}{n^2+n+1}$ のとき、数列 $\{a_n\}$ が、 $n$ を無限に大きくしていくとき、どのような値に近づくか、ということを考えさせる問題である。

この問題を解くために、ε-N論法(イプシロン-エヌろんぽう)で、極限値の定義を行い、基本定理の証明を行う。その後に、それぞれの問題について考える。

このページの構成は以下のようになる。

(1)数列の極限値の定義(ε-N論法)
(2)極限の基本定理
(3)問題の解答
ε-N論法による極限値の定義

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=a$ という式の意味は、” $n$ を限りなく大きくするとき、 $a_n$ は値 $a$ に限りなく近づく(もしくは一致する)”という意味である。例えば、 $a_n=0. \underbrace{999\cdots9}_{n}$ としたとき、 $n$ を大きくしていくと、 $a_n$ は $1$ に限りなく近づく。このようなとき、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=1$ と書ける。ちなみに、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=a$ となるとき、数列 $\{a_n\}$ は $a$ に収束(しゅうそく)するという。

“限りなく大きく”や、”限りなく近づく”という言葉をそのまま使って、極限値の定理を証明するのは、難しい。この難しさを回避するために、ε-N論法(イプシロン-エヌろんぽう)という、不等式を使って極限を定義する方法が生まれた。ε-N論法のおかげで、微分積分学の基礎となる極限を厳密に定義することができ、微積を論理的に確かなものにすることができる。

ε-N論法による極限値の定義

数列 $\{a_n\}$ が数 $a$ に収束するとは、すべての $\varepsilon>0$ に対して、ある自然数 $N$ がとれて、自然数 $n$ が $n>N$ ならば $|a_n-a|<\varepsilon$ が成立する、ということである。

もしくは、全称記号 $\forall$ と存在記号 $\exists$ を使って次のようにも表せる。

論理記号を使った極限値の定義

数列 $\{a_n\}$ が数 $a$ に収束するとは、次が成立するということである。

$\begin{eqnarray*} &\forall\varepsilon>0, \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \text{s.t.} \\ &\forall n \in \mathbb{N}, \quad n>N \Rightarrow |a_n-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

論理記号の読み方

上の論理記号の読み方を説明する。

$\forall\varepsilon>0$ は、”すべての正である $\varepsilon$ (イプシロン)に対して”という意味である。 $\varepsilon>0$ によって $\varepsilon$ の範囲を限定し、さらに全称記号 $\forall$ を付けることで、後に出てくる式はすべての(任意の) $\varepsilon>0$ で成立するということを表している。

$\exists N \in \mathbb{N}$ は、”後に書かれている式を満たす自然数 $N$ が存在する”という意味である。 $\mathbb{N}$ は自然数全体の集合を表す記号である。 $N \in \mathbb{N}$ ( $N$ は自然数の集合 $\mathbb{N}$ の要素であるという意味)と書くことで、 $N$ が自然数であることを表現している。これに存在記号 $\exists$ を付けることで、この後に続く式を満たす $N \in \mathbb{N}$ が存在することを表している。

$\text{s.t.}$ は、such thatの略で、”どのような” $N$ が存在するかということを後の式が説明することを表している。 $\exists A \quad \text{s.t.} \quad B$ で、「BとなるようなAが存在する」という意味である。

$\forall n \in \mathbb{N}$ は、”すべての自然数 $n$ に対して”という意味である。 $n \in \mathbb{N}$ は $n$ が自然数であることを表している。これに全称記号 $\forall$ を付けることで、後に続く式がすべての自然数 $n$ に対して成立することを表している。

$n>N \Rightarrow |a_n-a|<\varepsilon$ は、 $n>N$ ならば $|a_n-a|<\varepsilon$ であることを表している。

以上のことを踏まえ上の論理記号を日本語に訳すると、先にあげた定義のようになる。

ε-N論法の考え方

ε-N論法では、任意の $\varepsilon$ (イプシロン)とそれに対する適当な $N$ の２つの変数が重要な役割を持っている。 $\varepsilon$ は正の実数であれば何でもよいのだが、大きい $\varepsilon$ に興味があるのではなく、小さい $\varepsilon$ に興味がある。 $\forall \varepsilon > 0$ は、”どんなに小さい $\varepsilon$ に対しても”という意味なのである。そして、非常に小さい $\varepsilon$ に対して、ある大きな $N$ を用意する。この大きな $N$ 以上の $n$ であれば、どんな $n$ に対しても $a$ の値と $a_n$ の値の距離(差の絶対値)が $\varepsilon$ より小さくできる。もし、このような $N$ が、どんな小さな $\varepsilon$ に対しても用意できるのならば、十分に大きい $n$ をとれば、 $a_n$ と $a$ との距離をいくらでも小さくできるといえるのだから、数列 $\{a_n\}$ は数 $a$ に収束するといえる。ε-N論法は、このような考え方である。

例題

最後にε-N論法を使って問題を解こう。

問題：次の式の値を求めよ。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$

$n$ =10, 100, 1000…のとき、 $\frac{1}{n}$ =0.1, 0.01, 0.001…となるから、 $\frac{1}{n}$ は $n$ を大きくすると、 $0$ に近づくだろうと予想できる。

(解答)

任意の $\varepsilon>0$ に対して、自然数 $N$ を、 $N>\frac{1}{\varepsilon}$ となるようにとることができる。このとき、すべての $n>N$ である自然数 $n$ に対して、

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{n}-0\right|&=&\frac{1}{n} \\ &<&\frac{1}{N} \\ &<&\varepsilon \end{eqnarray*}$

以上より、任意の $\varepsilon>0$ に対して、ある自然数 $N$ がとれ、自然数 $n$ が $n>N$ ならば、 $|\frac{1}{n}-0|<\varepsilon$ であるといえたので、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0$ である。

(解答終わり)
基本定理

収束と有界

収束する数列は有界である。

有界であるとは、無限に大きくなったり無限に小さくなったりしない、ということである。例えば数列 $\{\frac{1}{n}\}$ は有界である。０以上１以下の範囲に収まっている。しかし、数列 $\{n^2\}$ は有界ではない。いくらでも大きくなってしまう。数列 $\{a_n\}$ が、適当な数 $K$ を用いて $|a_n|\leq K$ と書ければ、数列 $\{a_n\}$ は有界である。例えば、数列 $\{\frac{1}{n}\}$ の場合、 $|a_n|\leq1$ と書け、有界である。( $|a_n|\leq1$ は、数列 $\{a_n\}$ のすべての項が-1以上1以下に収まるという意味)

(証明)

数列 $\{a_n\}$ が数 $a$ に収束するとする。このとき、ある自然数 $N$ をとって、 $n>N$ ならば $|a_n-a|<1$ となるようにできる( $\varepsilon=1$ )。したがって、 $K=\max\{1+|a|, |a_1|, |a_2|, \ldots\ldots, |a_N|\}$ とすれば、 $|a_n|\leq K$ とできる。ゆえに、収束する数列は有界。

(証明終わり)

極限の計算の基本定理

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=a$ , $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n=b$ のとき、次の式が成り立つ。

(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n+b_n)=a+b$

(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} ka_n=ka$ (ただし、 $k$ は定数)

(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n b_n=ab$

(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$ (ただし、 $b\neq0$ )

注：下の証明を読む前に、三角不等式が分からない場合は下のほうにスクロールして、どのようなものか確認しておくこと。

(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n+b_n)=a+b$

(証明)

任意の $\varepsilon>0$ に対し、適当な自然数 $N_1$ , $N_2$ をとって、 $n_1>N_1$ のとき $|a_{n_1}-a|<\frac{\varepsilon}{2}$ 、 $n_2>N_2$ のとき $|b_{n_2}-b|<\frac{\varepsilon}{2}$ とできる。 $N_1$ , $N_2$ のうち大きいほうを $N$ をおけば、 $n>N$ のとき $|a_n-a|+|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ とできる。したがって、

$\begin{eqnarray*} |(a_n+b_n)-(a+b)|&=&|(a_n-a)+(b_n-b)| \\ &\leq&|a_n-a|+|b_n-b| \\ &<&\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{eqnarray*}$

任意の $\varepsilon>0$ に対して、自然数 $N$ を、 $n>N$ のとき $|(a_n+b_n)-(a+b)|<\varepsilon$ となるようにとることができたので、与式は成り立つ。

(証明終わり)

(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} ka_n=ka$ (ただし、 $k$ は定数)

(証明)

任意の $\varepsilon>0$ に対して、自然数 $N$ を、 $n>N$ のとき、 $|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{|k|}$ となるようにとることができる。このとき、

$\begin{eqnarray*} |ka_n-ka|&=&|k||a_n-a| \\ &<&|k|\cdot\frac{\varepsilon}{|k|} = \varepsilon \end{eqnarray*}$

任意の $\varepsilon>0$ に対して、自然数 $N$ を、 $n>N$ のとき $|ka_n-ka|<\varepsilon$ となるようにとることができたので、与式は成り立つ。

(証明終わり)

(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n b_n=ab$

(証明)

数列 $\{a_n\}$ は収束するから有界であり、ある正の定数 $K$ をとって、 $|a_n|<K$ とすることができる。さらに、任意の $\varepsilon>0$ に対して、適当な自然数 $N_1$ , $N_2$ をとり、 $n_1>N_1$ のとき $|a_{n_1}-a|<\frac{\varepsilon}{2|b|}$ 、 $n_2>N_2$ のとき $|b_{n_2}-b|<\frac{\varepsilon}{2K}$ とすることができる。 $N_1$ , $N_2$ のうち大きいほうを $N$ にとり、 $n>N$ とすると次のように計算できる。

$\begin{eqnarray*} |a_n b_n -ab | &=& |a_n b_n -a_n b + a_n b - ab| \\ &\leq&|a_n b_n -a_n b| + |a_n b - ab| \\ &=&|a_n||b_n-b| + |b||a_n-a| \\ &<&K|b_n-b| + |b||a_n-a| \\ &<&K\cdot \frac{\varepsilon}{2K} + |b|\cdot\frac{\varepsilon}{2|b|} \\ &<&\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{eqnarray*}$

任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $n>N$ ならば $|a_n b_n -ab|<\varepsilon$ となるような自然数 $N$ をとることができたので、与式は成り立つ。

(証明終わり)

(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$ (ただし、 $b\neq0$ )

(証明)

数列 $\{b_n\}$ は数 $b$ に収束し $\frac{|b|}{2}>0$ なので、十分大きな $N_1$ をとれば、 $n_1>N_1$ のとき $|b_{n_1} - b|<\frac{|b|}{2}$ とできる。これを変形すると、

$\begin{eqnarray*} \frac{|b|}{2}&>&|b_{n_1}-b| \\ &\geq& -|b_{n_1}|+|b| \\ |b_{n_1}|&>&\frac{|b|}{2} \end{eqnarray*}$

さらに、任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $n_2>N_2$ ならば $|a_{n_2}-a|<\frac{|b|\varepsilon}{4}$ となるような自然数 $N_2$ がとれ、また、 $n_3>N_3$ ならば $|b_{n_3}-b|<\frac{|b|^2\varepsilon}{4|a|}$ となるような $N_3$ がとれる。これらの自然数 $N_1$ , $N_2$ , $N_3$ のうち一番大きいものを $N$ とし、自然数 $n$ が $n>N$ を満たすとすると次のように計算できる。

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{a}{b}\right|&=&\frac{|a_n b - a b_n|}{|b b_n|} \\ &<&\frac{2|a_n b - a b_n|}{|b|^2} \\ &=&\frac{2|a_n b -ab + ab-a b_n|}{|b|^2} \\ &\leq&\frac{2|a_n b -ab|}{|b|^2}+\frac{2|-a b_n +ab|}{|b|^2} \\ &=&\frac{2|a_n -a|}{|b|} +\frac{2|a||b_n-b|}{|b|^2} \\ &=&\frac{2}{|b|}\cdot|a_n -a| + \frac{2|a|}{|b|^2}\cdot|b_n -b| \\ &<&\frac{2}{|b|}\cdot\frac{|b|\varepsilon}{4} + \frac{2|a|}{|b|^2}\cdot\frac{|b|^2\varepsilon}{4|a|} \\ &=&\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{eqnarray*}$

任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $n>N$ のとき $\left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{a}{b}\right|<\varepsilon$ となるような自然数 $N$ をとることができたので、与式は成り立つ。

(証明終わり)

三角不等式

任意の実数 $x$ , $y$ に対して次の式が成り立つ。

$\begin{eqnarray*} |x|-|y|\leq|x+y|\leq|x|+|y| \end{eqnarray*}$
(1)の解答

・分母分子を次数の高い項で割ればよい。

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+4n+1}{n^2+n+1}&=&\frac{3+4\cdot\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$

ここで、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} 1=1$ , $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac{1}{n}=0$ , $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}=0$ なので、

$\begin{eqnarray*} &&\lim_{n \to \infty} (3+4\cdot\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}) \\ &=&3\cdot1+4\cdot0+0 \\ &=&3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} &&\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}) \\ &=&1+0+0 \\ &=&1 \end{eqnarray*}$

したがって、

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+4n+1}{n^2+n+1}&=&\frac{3}{1} \\ &=&3 \end{eqnarray*}$
(2)の解答

・ ${\it (x+y)(x-y)=x^2-y^2}$ が利用できるように、分母(=1)と分子を操作する。

$\begin{eqnarray*} &&\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \\ &=&\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ &=&\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ &=&\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ &=&0 \end{eqnarray*}$

( $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\infty$ と下枠の定理を使った。)

無限大に発散する数列の逆数の極限

数列 $\{a_n\}$ が無限大に発散するとき、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n}=0$

数列 $\{a_n\}$ が無限大に発散するとは、 $n$ を大きくとれば $a_n$ の値をいくらでも大きくできるということである。このとき、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=\infty$ と書く。収束しない数列(極限値が定まらない数列)のことを発散する数列という。

数列の発散をε-N論法で書くと次のようになる。

無限大に発散するということの定義

数列 $\{a_n\}$ が無限大に発散するとは、次が成立するということである。

$\begin{eqnarray*} &\forall K \in \mathbb{R}, \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \text{s.t.} \\ &\forall n \in \mathbb{N}, \quad n>N \Rightarrow a_n>K \end{eqnarray*}$

ただし、 $\mathbb{R}$ は実数全体の集合を表す記号。

この定義を使って、上枠の定理を証明しよう。

(証明)

数列 $\{a_n\}$ は無限大に発散するので、任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $n>N$ ならば $a_n>\frac{1}{\varepsilon}$ となるような自然数 $N$ をとることができる。このとき、次のようにできる。

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{a_n}-0\right| = \frac{1}{a_n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $n>N$ ならば $\left|\frac{1}{a_n}-0\right|<\varepsilon$ となるような自然数 $N$ をとることができたので、数列 $\{\frac{1}{a_n}\}$ は値 $0$ に収束する。

(証明終わり)
(3)の解答

・一番強い(大きな数になる)項で分母分子を割ればよい。

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{2^n+3^n}{3+3^n}&=& \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n+1}{\frac{3}{3^n}+1} \\ &=&\frac{0+1}{0+1} \\ &=&1 \end{eqnarray*}$

(下枠の定理を使った。)

指数関数と分数と収束

$a>1$ のとき、次の式が成り立つ。

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a^n}=0 \end{eqnarray*}$

(証明)

$a=1+h$ とおく。( $a>1$ なので $h>0$ ) $n$ を自然数として、二項定理を使うと、

$\begin{eqnarray*} &&a^n \\ &=&(1+h)^n \\ &=&{}_n \mathrm{C} _0+ {}_n \mathrm{C} _1 h + {}_n \mathrm{C} _2 h^2 + \cdots\cdots + {}_n \mathrm{C} _n h^n \\ &>&{}_n \mathrm{C} _1 h \\ &=&nh \end{eqnarray*}$

そして、任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $N>\frac{1}{\varepsilon h}$ となるような自然数 $N$ をとる。自然数 $n$ が $n>N$ のとき、次のようにできる。

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{a^n}-0\right|&=&\frac{1}{a^n} \\ &<&\frac{1}{nh} \\ &<&\frac{1}{Nh} \\ &<&\varepsilon \end{eqnarray*}$

任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $n>N$ ならば $\left|\frac{1}{a^n}-0\right|<\varepsilon$ となるような自然数 $N$ をとることができたので、数列 $\{\frac{1}{a^n}\}$ は値 $0$ に収束する。

(証明終わり)

二項定理

$(x+y)^n$ は次のように展開できる。

$\begin{eqnarray*} &&(x+y)^n \\ &=&\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} y^{k} \\ &=&\sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C} _k x^{n-k} y^{k} \\ &=& {}_n \mathrm{C} _0 x^n +{}_n \mathrm{C} _1 x^{n-1}y +{}_n \mathrm{C} _2 x^{n-2} y^{2} \\ &&~~~~~~~~~~~~~~~+\cdots\cdots+{}_n \mathrm{C} _n y^n \\ &=& x^n + \frac{n}{1} x^{n-1}y + \frac{n(n-1)}{1\cdot2} x^{n-2} y^2 \\ &&~~~~~~~~~~~~~~~+ \cdots\cdots + y^n \end{eqnarray*}$
(4)の解答

・この問題は式に収束する数列が含まれており、ε-N論法を使わないとうまく解くことができない。数列が収束するということをε-N論法の定義によって書き直して解けばよい。

(i) $a=0$ のとき

数列 $\{a_n\}$ は収束するので有界であり、ある整数 $K$ を用いて、 $|a_n|<K$ とすることができる。また、数列 $\{a_n\}$ が $0$ に収束するから、任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $N_1>\frac{2K}{\varepsilon}$ 、かつ、 $n>N_1$ ならば $|a_n|<\frac{\varepsilon}{2}$ となるような自然数 $N_1$ がとれる。 $n>N={N_1}^2$ のとき、

$\begin{eqnarray*} &&\left|\frac{a_1+a_2+\cdots\cdots+a_n}{n}\right| \\ &\leq&\left|\frac{a_1+a_2+\cdots\cdots+a_{N_1}}{n}\right|+\sum_{k=N_1+1}^{n} \left|{\frac{a_k}{n}\right| \\ &<&\left|\frac{K+K+\cdots\cdots+K}{n}\right|+\sum_{k=N_1+1}^n \frac{\varepsilon}{2n} \\ &=&\frac{KN_1}{n}+\frac{\varepsilon(n-N_1)}{2n} \\ &<&\frac{\varepsilon {N_1}^2}{2n}+\frac{\varepsilon(n-N_1)}{2n} \\ &=&\frac{{N_1}^2}{n}\frac{\varepsilon}{2}+\frac{n-N_1}{n}\frac{\varepsilon}{2} \\ &<&\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \\ &=&\varepsilon \end{eqnarray*}$

任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $n>N$ ならば $\left|\frac{a_1+a_2+\cdots\cdots+a_n}{n}\right-0|<\varepsilon$ となるような自然数 $N$ がとれたので、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots\cdots+a_n}{n}=0$

(ii) $a\neq0$ のとき

$b_n=a_n-a$ とおくと、

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b_n &=& \lim_{n \to \infty} (a_n -a) \\ &=&a-a \\ &=&0 \end{eqnarray*}$

したがって、数列 $\{b_n\}$ に(i)の結果が利用でき、

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{b_1+b_2+\cdots\cdots+b_n}{n}&=&0 \\ \lim_{n \to \infty} \frac{b_1+b_2+\cdots\cdots+b_n}{n}+a&=&0+a \\ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{b_1+b_2+\cdots\cdots+b_n}{n}+a\right)&=&a \\ \lim_{n \to \infty} \frac{b_1+b_2+\cdots\cdots+b_n+an}{n}&=&a \\ \lim_{n \to \infty} \frac{(b_1+a)+(b_2+a)+\cdots\cdots+(b_n+a)}{n}&=&a \\ \lim_{n \to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots\cdots+a_n}{n}&=&a \end{eqnarray*}$

(i), (ii)より、

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots\cdots+a_n}{n}&=&a \end{eqnarray*}$